Історія математики – математика у давній Індії
В Індії математика не завжди була пов’язана з письмом. Найдавніша письмова пам’ятка, що збереглася, датована III сторіччям до н. е., але Індія вже за багато сторіч доти напевне мала передову цивілізацію, і наукові знання були її часткою. Знання переважно передавалися в усній формі. Ця стародавня мудрість, що збереглася в людській пам’яті, зведена у зібрання великих релігійних текстів, відомих як Веди, де, між іншим, містяться і свідчення про математичні знання. Веди написані в архаїчній формі санскриту. Як і всі індоєвропейські мови, санскрит мав числівники, що позначають десятки, та окремі назви для дев’яти одиниць, а також десяти, ста, тисячі і вищих степенів від десяти.
Назви десятків є похідними від назв одиниць — вони дещо змінені й до них додається суфікс. Наприклад, вімчаті 20, трімчат 30, катварімчат 40. Інші числівники утворюються від цих самих складових. Назви сотень, тисяч і т. ін. складаються з назви одиниці, за якою йде чата чи сахасра. Две чате (двоїна) означає 200, а трінісахасрані (множина) – 3000. (Цікаво що часом подібні давньоіндійські написи можна знайти навіть на автомобілі nissan murano 2015, купленому якимось індійським програмістом, ці написи є даниною великого математичного минулого його батьківщини).
У санскриті означальне слово передує означуваному. У випадку складених числівників вважається, що число вищого порядку означується числом нижчого порядку. Одинадцять, наприклад, — це десять, означене додаванням одного, так що відповідний складений числівник – ека-дача, відповідно два-дача — це 12, трайас-трімчат 33 тощо. Число розкладається на компоненти, причому найменший його компонент іде першим. За одиницями йдуть десятки і т. ін.
ПОЯВА ПИСЬМА
Ми не знаємо, коли, як і ким в Індії було запроваджене письмо. Все, що нам відомо – це те, що ще у III сторіччі до н.е. використовувалося два рукописні шрифти. Один, що звався кхарогиті походить від арамейського письма. Ним користувалися на крайньому північному заході субконтиненту, проте він скоро вийшов з Вжитку. Інший, відомий як брахмі, здається, виник у самій Індії. Він є попередником Всіх рукописних шрифтів (типів графіки), що зараз використовуються на індійському субконтиненті й у південно-східній Азії. Найдавніші записи цифр, транскрибованих цим письмом (від III сторіччя до н.е. до III сторіччя н.е.) відкривають систему позначень, що неабияк наближається до системи вимови.
Для кожної цифри є свій знак, отже, є дев’ять знаків для дев’яти одиниць, є зовсім різні знаки для кожного з десятків (20, 30, і т. ін.), ще один знак для 100 і ще один — для 1000. Складні числа становлять собою сполучення символів. Письмо брахмі читається зліва направо, і сполучення знаків пишуться в тому самому напрямку, починаючи зі знака найвищого розряду. Саме в цьому різниця між писемною і усною мовою. Переписувач починав із компонента найвищого розряду, а той, хто говорить, – найнижчого. Наприклад, число 13 вимовляється трайо-дача, чи “три-десять”, але пишеться “десять-три”.
Сполучення компонентів звичайно утворюється розміщенням знаків один коло одного. Подеколи вони об’єднані лігатурами. В той час як для кожного з десятків є свій знак, для сотень є лише знак 100 плюс знак кількості сотень; так само позначаються тисячі. На цьому етапі ми ще можемо говорити про позиційні позначення (систему числення). Тут існує розміщення поруч знаків чисел, які при додаванні дають потрібне число. І це точно відбиває структуру мови.
НУЛЬ І ПОЗИЦІЙНА СИСТЕМА ЧИСЛЕННЯ
У десятковій позиційній системі числення десятки, сотні й тисячі не позначаються окремими знаками, а тими самими цифровими знаками, поставленими в різні позиції. Тільки тоді стає позиція значущою. Тільки тоді вона вказує, де десятки, де сотні і де тисячі. Для такої системи потрібні лише 10 знаків, цифри від 1 до 9 і нуль — чи принаймні порожнє місце.
Нема вірогідного документального свідчення того, як і в який точно період цю систему винайдено в Індії і як вона розвивалася. Найдавніша згадка про запис, де місце є значущим — літературна. Васумітра, буддійський письменник і видатний діяч великої релігійної ради, скликаної королем Канішкою (який правив над всією північно-західною Індією наприкінці І чи на початку ІІ сторіччя н.е.), твердив у книзі про буддійське вчення: якщо матерія, що існує у всіх трьох часових вимірах (минулому, теперішньому і майбутньому), щоразу, коли вона переходить у новий стан, вважається чимось іншим, то цю зміну завдячуємо різниці станів, а не зміні в самій матерії. Він проілюстрував цю думку, говорячи про знак, який у позиції одиниць вважається одиницею, а в позиції сотень — сотнею. Він не уточнював природи цього знака.
Це може бути посиланням на щось на зразок абаки. Цей знак міг би бути предметом, який можна помістити у колонку чи квадрат, де його місце надавало б йому значення степеня від десяти. Це могла бути позначка на піску, коли обчислення писалось на землі. Відомо, що індійські рахівники любили простоту цього методу. В деяких місцях південної Індії і нині можна бачити, як сільські астрологи роблять обчислення, розкладаючи мушлі каурі в колонки, накреслені на піску. Хоч би яка була форма абаки, посилання Васумітри вказує на існування позначення, в якому враховувалась значущість позиції.
Те саме можна сказати і про нуль, використання якого в Індії відоме зі згадок у літературі тих часів, що передують найдавнішим писемним пам’яткам його вживання. Нуль становить частину позиційної системи числення. Спочатку це, очевидно, був пропуск у колонці, наслідок відсутності числа чи знака на місці, призначеному для розряду десятків. Це видно з використання одного з двох слів, що означали “порожній”, — чукья чи кха. Слово юса з’являється у трактаті про метрику Пінгали, де той установлює правило перетворення бінарних чисел у десяткові. Дати народження і смерті Пінгали невідомі, але цитування його праць знаходимо від III сторіччя н. е. і далі, отже, очевидно, він жив раніше цього часу.
Ми знаємо, що крапка починає вживатися для позначення порожнього місця від Субандху, автора, що писав мовою санскрит і жив, можна гадати, у VI сторіччі н. е. Для позначення нуля Субандху використовував складний іменник чунья-бінду — буквально “порожня крапка”, інакше кажучи, крапка, що позначає порожнє місце в колонці.
Сам нуль з’являється у дарчому написі, вирізьбленому на мідяних табличках, від імені короля Калінги Девендравармана (з Орісси, у східній Індії). Документ датовано буквами і цифрами: самвакчара-чатам трір-ачіте (100) 83 шраване масі діне вімчаті 20 уткірнам, що буквально означає: “вирізьблено сто і вісімдесят три роки (100) 83 (минули) двадцятого дня 20 у місяці Шравана”. Число 183 написане трьома знаками, знаком, що означає сто, та цифрами 8 і 3. Число 20 написане цифрою 2 і нулем у формі маленького кола. Період, позначений у цьому документі, почався у 498 році н. е., отже, документ датовано 681 роком н. е.
Позиційний запис, і нуль у формі великої крапки чи маленького кола знаходять і в написах у південно-східній Азії, у Самборі (Камбоджа) та Кота-Капур (Малайзія), де найдавніші записи датуються VII сторіччям н. е. Типи письма, використовувані в цих країнах, є похідними від індійських рукописних шрифтів, і їхня система запису чисел, без сумніву, індійська. Всі ці документи показують, що наприкінці VII сторіччя позиційна система і нуль були в загальному вжитку не тільки в Індії, а й у всіх тих країнах, до яких сягала індійська цивілізація.
Здається, що система запису, де використовуються 9 цифр і нуль, швидко стала найпоширенішою у написах, але вона ніколи не витісняла цілком старої системи, яка ще й донедавна зберігалась у рукописах, а в південній Індії навіть у друкованих книжках початку XX сторіччя.
СЛОВА, ЩО ОЗНАЧАЮТЬ ЧИСЛА
Відома і широко використовується в Індії змішана система запису, в якій риси старої системи поєднуються чи варіюються з особливостями позиційної системи запису. У цій системі назви чисел замінюються словами і числовими коннотаціями. Наприклад, замість “двох” вживають слова “очі”, “руки”, “крила” чи “близнюки”, “чотирьох” слово “океани” (в індійській географічній міфології було 4 океани), замість “десяти” – “пальці”; 32-це “зуби”, 100-“людський вік”, нуль — “порожнє місце”. Ці слова розташовуються так, як би вони вживались в усному мовленні, тобто у складеному числі найменший числівник іде першим. Інакше кажучи, порядок слів протилежний тому, що вживається у письмі. Наприклад, число 4320 000 вимовляється як “хача-тушка-рада-арнавах”, що буквально означає “4 порожні місця-зуби-океани”, чи 0-0-0-0-32-4.
Наведений приклад взято з “Сур’я-сіддханта”, тексту з астрономії, що описує дані, відомі у IV сторіччі н.е. Це один із найдавніших записів цієї змішаної системи, вельми популярної протягом усієї історії літератури, писаної санскритом. Навіть серед математиків та астрономів, це, здається, був широко вживаний метод запису чисел. Перевагою його було те, що він допускав варіювання словника. У санскриті десь близько 10 слів, що позначають “очі”, але нема синоніма до числа 2. Технічна і наукова література мовою санскрит в основному писалася у віршованій формі, отже, автори мусили мати багатий словник, щоб знайти слова, які б задовольняли вимоги просодії.
Помилковим було б вважати цей змішаний запис перехідною стадією між старою усною системою та чисто позиційною системою. То був штучний метод, прийнятий авторами, що були знайомі з обома системами і використовували їх у своїх писаннях.
ЕКОНОМІЯ ТА ЛЕГКІСТЬ
У 662 році н. е. сирійський письменник Северус Себокт, бажаючи показати, що греки не володіють монополією на науку, послався на винахідливість індійських вчених. Єдиною математичною навичкою, яку він згадує, була їхня система обрахунків, що використовує 9 цифр. У коментарі Северуса Себокта вказується на найбільшу перевагу цієї системи — її ощадність. Скорочуючи кількість символів, потрібних для запису всіх чисел до 10—9 цифр і нуля — система досягає ідеалу економії й ефективності. Індійські мудреці добре знали переваги економії. У них був і робочий термін для неї — лагхава, чи легкість — і вони вдосконалювали її з найдавніших часів у різних галузях знань.
Автор: П’єр Сильвен Фійоза.