Античні амфори та антична математика
Найбільший грецький скульптор IV століття до н. е. Лисіпп, ім’я якого ще в давнину було овіяне славою генія і оточене романтичними легендами, отримав одного разу незвичайне для скульптора завдання. Навряд чи воно було йому приємне, так як виходило від самого Кассандра — одного з могутніх і грізних наступників Олександра Македонського, Кассандра, який у боротьбі за зміцнення своєї влади не зупинився навіть перед вбивством матері, дружини і сина свого колишнього повелителя. Лісіпп ж був особистим другом Олександра. У чому ж полягала незвичайність завдання? Кассандр наказав знаменитому скульпторові виготовити прототип простої глиняної амфори для вивозу на світові ринки вишуканого та овіяного широкою славою мендейського вина, що робилося по сусідству з новим містом, яке цар заснував сам і назвав Кассандрією.
Амфори — великі глиняні плоскі посудини з гострим дном і більш або менш високим горлом, були в античному світі основною тарою для транспортування рідких і сипучих товарів — в першу чергу виноградного вина та оливкової олії. Їх форма була досить зручною для перевезення на кораблях, в трюми яких амфори завантажувалися багатьма сотнями і тисячами. Вельми зручні були вони і для перенесення.
Стародавній покупець по одному виду амфори міг безпомилково визначити, з якого міста вона походила, а отже, і судити про якість її вмісту (як, втім, і про кількість, але про це мова попереду). У кожному місті амфорам, при збереженні їх принципово однакової раціональної форми, прагнули надати вигляду, відповідного естетичним смакам того чи іншого часу. Кассандр тому і звернувся до знаменитого скульптора, щоб той створив посудину красиву та оригінальну. Крім того, нова амфора повинна була мати абсолютно певну стандартну ємність.
Багато міст, в яких амфори виготовлялися у величезних кількостях, таврували свою продукцію особливими штемпелями, що містили, поряд з іменами міських магістратів і господарів гончарних майстерень, нерідко і назву міста, де була виготовлена амфора (наприклад, «фасоська», «кнідська», «пароська» і т. д.), або, замість цього, його «герб». Так, на родоських клеймах немає імені міста, але зазвичай зображені троянда або квітка граната – “герб” Родосу; на клеймах міста Синопи нерідко зустрічається зображення орла, що терзає дельфіна, і т. д. Ці клейма, з одного боку, були “торговими марками”, рекламували товар, засвідчували його якість, чимось на кшталт “зроблено в…”, а з іншого – служили гарантією “повноцінності” тари, відповідності її прийнятому стандарту. Однак амфори таврували далеко не повсюдно, та й там і тоді, де і коли їх таврування було обов’язковим і масовим, – далеко не все, а лише строго певну їх частину (кожну п’яту, десяту…) Проте, вже зараз археологічними розкопками відкрито близько 200 тисяч амфорних клейм.
Виявлені залишки багатьох сотень тисяч, якщо не мільйонів, давньогрецьких амфор, розсіяних по всій території античного світу — від Гераклових стовпів (Гібралтара) на заході до Індії на сході, від районів Києва, Курська і Воронежа на півночі до долини Нілу на півдні. Ці залишки служать в даний час найбільш масовим і надійним матеріалом для конкретного дослідження античної торгівлі.
Але тут вчені досі стикалися з однією, здавалося непереборною трудністю. Справа в тому, що кожне місто виготовляло амфори різного обсягу, від 4-5 до 40-45 літрів, і зіставлення числа амфор, що визначається по числу клейм або ніжок судин, давало небагато. Реальне співвідношення обсягу торгівлі вислизало з рук дослідника.
Правда, було відомо, що амфори — судини стандартних ємностей і що, крім судин повного обсягу (стандарту), існували судини «дробові». Але це саме по собі не могло призвести до вирішення, які саме були конкретні стандарти амфор різних центрів. Занадто мало до нас дійшло амфор (як правило, вони зберігаються неушкодженими лише в могилах — та й то далеко не завжди,— куди вони ставилися з вином як напутнє приношення померлому). Тепер становище змінилося. Кількість цілих амфор в музейних зборах у багато разів збільшилася. Причому слід особливо підкреслити, що це величезне зростання матеріалу спостерігається в першу чергу саме в нашій країні. Однією з причин цього є те обставина, що саме на півдні України, у причорноморських степах, у скіфів звичай класти в могили амфори з вином був особливо широко поширений. Зараз ми володіємо багатьма сотнями цілих амфор (частково розчавлені землею, вони відновлені з багатьох десятків уламків, ретельно зібраних і склеєних).
До того ж вироблена нова методика визначення стандартних обсягів амфор дозволяє з’ясовувати їх часом по незначних залишках. Іноді досить мати ніжку амфори або частину її горла або тулуба, щоб майже безпомилково визначити її древній стандарт. А це, в свою чергу, відкриває принципово нові можливості підходу до вивчення античної торгівлі. Досі було прийнято вважати, що якщо в якому-небудь місці знайдено 30 клейм амфор міста Гераклеї Понтійської і 20 клейм амфор Синопи середини IV століття до нової ери (обидва названих міста розташовані на південному березі Чорного моря — це сучасні турецькі міста Ереглі і Синоп), то можна впевнено стверджувати, що гераклейський імпорт тут в півтора рази перевершував синопський. Насправді ж виявляється, що імпорт Синопи перевершував гераклейський, так як синопська стандартна амфора мала в цей час обсяг приблизно вдвічі більший, ніж гераклейська.
Ми не будемо заглиблюватися в методику з’ясування стародавніх стандартів амфор — не про неї мова. Для обчислення стандартів стародавніх амфор вдалося використовувати і античні формули обсягу складних тіл обертання. Застосовність цих формул до обчислення стандартів амфор безперечно доводить, що розміри та обсяги тари не були випадковими величинами, що залежали в кожному окремому випадку від інтуїції або бажання гончара, а заздалегідь заданими державною владою. Разом з тим аналіз давніх стереометричних формул призводить до цікавих і несподіваних висновків з історії античної математики.
Герон Олександрійський прославився винаходом ряду машин, таких, наприклад, як прилад для вимірювання протяжності доріг, заснований на тому ж принципі, що сучасні таксометри, або автомат для продажу «святої» води. У його творі “Метрика” збереглося кілька формул для обчислення обсягів судин, що мали форму складних тіл обертання. Ці формули були призначені для обчислення обсягу піфосів — величезних глиняних «бочок», відер багато сотень, а часто й тисячі літрів. До речі, саме таким піфосом була «бочка», в якій, за переказами, жив знаменитий філософ Діоген.
Герон приводить три різних формули для обсягів піфосів, залежно від їх форми: один названий «піфоїдом», тобто посудиною піфосоїдною, інший — «сфероїдом», тобто сферовидним, а третій — якимось абстрактним визначенням «інший піфос», і що Герон мав під цим поняттям на увазі, залишається незрозумілим. Досі вважалося, що конкретне віднесення Героном своїх формул до піфосів виключає можливість їх застосування до інших категорій судин, зокрема до амфор. Однак проведені нещодавно експерименти показали повну придатність принаймні однієї з геронівських формул, а саме формули для об’єму «піфоїда», до обчислення обсягів цілої групи амфор різного часу і різних місць виробництва, що об’єднуються принциповою подібністю форми своїх станів.
Як завжди в творах стародавніх математиків, формула Герона наведена у вигляді числового прикладу. Якщо відволіктися від конкретних чисел, які для нас не мають значення, то формула має наступний вигляд: дані максимальний і мінімальний діаметри судини (за мінімальний, як показали розрахунки, приймається діаметр гирла горла) і його висота (глибина); далі сказано, що для обчислення об’єму слід скласти обидва діаметра і розділити навпіл, а результат «помножити на себе», тобто звести в квадрат; отримане число потрібно помножити на одинадцять і розділити на чотирнадцять, а результат помножити на висоту.
Як показує найпростіше обчислення, число 11/14 дійсно дорівнює 1/4 Пі (11:14 = 0,78571…; 11/14-4 = 3,14285). У науці визнано, що досить точне значення Пі було обчислено великим Архімедом, який жив, як відомо, в III столітті до нової ери. Архімед повідомляє, що “периметр всякого кола більше його діаметра трикратно і, понад те, менш, ніж на сьому частину діаметра і більше, ніж на десять семидесятиперших», тобто значення Пі лежить між 3 (0/71 = 3,14081… і 3!/7 =3,14285… (останнє число і зараз широко застосовується для розрахунків, які не потребують особливої точності).
Як бачимо, отримане нами значення Пі у Формулі Герона в точності відповідає тому, що приводиться Архімедом. І в цьому немає нічого дивного, бо Герон жив після Архімеда. Дивно чи, вірніше, несподівано інше: як показують численні експериментальні дані, «формула Герона» для «піфоїда» повністю застосовна до амфор IV, V і навіть VI століть до нової ери.
Отже, формули досить точного обчислення обсягів складних тіл обертання були широко відомі і застосовувалися на практиці задовго до Герона та Архімеда. Хто був автором цих формул, ми, швидше за все, ніколи не дізнаємося. Однак жив цей древній математик, у всякому разі, ще в VI столітті до нової ери, тобто, принаймні, за п’ять-шість століть до Герона і за три століття до Архімеда. Мало того, виходить, що досить точне значення, що повністю відповідає архімедівському, було обчислено не тільки задовго до Герона, але і задовго до Архімеда, заслугою якого воно вважалося досі. Можна припускати, що і Архімед, подібно Герону, виклав у своїй праці в даному випадку результат не власного відкриття, а обчислень, що є заслугою його попередників, які, можливо, назавжди залишаться анонімними.
Автор: І. Брашинский.