Історія математики: шумерська арифметика
Коли протягом останнього сторіччя вчені почали осягати писемну систему числення у стародавньому месопотамському світі двох останніх тисячоріч до нашої ери, вони відкрили в ній дві відмітні риси. Насамперед, месопотамці скористалися з унікальної системи, в основу якої було покладено число 60. По-друге, вони різняться від інших знаних стародавніх народів вживанням позиційної системи числення, як це робимо ми, для виразу чисел на письмі. Було запропоновано найрізноманітніші пояснення цих двох дивних рис. Дехто гадав, що вони могли мати якийсь стосунок до шумерського календаря; інші — що вони завдячували своєму існуванню зручності числа 60, такого багатого на дільники; ще інші — що вони були породжені психологічними особливостями шумерського народу. Тепер ми, проте, знаємо, що відповідь лежить у розвитку месопотамської писемності чи, точніше, в залежності писемності від рахівництва (адже це факт, що первісним призначенням писемності було рахівництво) і що ми маємо до діла з наслідком тисячорічного процесу.
Оскільки месопотамці використовували для ведення рахунків череп’яні матеріали, фактично непідвладні руйнації, ми можемо простежувати розвиток писемності в Месопотамії (та в сусідньому Сузі) ще наприкінці четвертого та на початку третього тисячоріччя. Спершу рахівництво провадили, користуючись порожніми череп’яними кулями з дрібними предметними знаками різних розмірів і різної форми всередині них та відбитками циліндричних печаток на їхній поверхні. Форма та розмір предметних знаків репрезентували об’єкт і (або) застосовувану одиницю лічби чи міри. Відбитки печатки на зовнішній поверхні вказували чи то на власника, чи то на учасників укладеної угоди, чи то на урядовця, що здійснює контроль.
Протягом наступних кількох сотень років ця система розвинулася далі. По-перше, перед тим, як ховати предметні знаки в кулі, на її поверхні почали робити їхні відбитки; по-друге, згодом відмовилися від самих предметних знаків, залишивши тільки їхні відбитки на поверхні тепер вже сплющеної кулі чи таблички; й нарешті, для того, щоб зробити позначки на поверхні, почали замість предметних знаків користуватися очеретинкою.
Близько 3 200 року до нашої ери система писемності так розвинулася, що вже користувалася цілим набором знаків (приблизно тридцятьма числовими і восьмистами нечисловими) для позначення предметів лічби й географічних назв та назв, пов’язаних із офіційною сферою життя.
У Месопотамії цього періоду (3200-2800 роки до н.е.) користувалися силою-силенною способів чи систем лічби. Одна призначалася для лічби дискретних об’єктів і довжини, інша — для вимірювання поверхонь, ще інша — для визначення кількості збіжжя (розбита на численні підсистеми для різних гатунків зерна!), ще інша — для мір часу. Таких метрологічних систем налічувалася, либонь, добра дванадцятка.
Щоб виразити число в будь-якій із цих систем, застосовували аддитивну техніку; іншими словами, числовий знак використовували стільки разів, скільки було одиниць, репрезентованих цим знаком.
Але попри всю рясноту систем набір числових знаків був малий. Справді, всі знаки по суті походили від чотирьох різних знаків, креслених очеретинкою: великих і малих кружалець та великих і малих зубців. До того ж ці знаки використовувались лише в певних комбінаціях: чи то осібно (чотири знаки), чи то у сполученнях кружальце зубець того самого розміру або кружальце + кружальце двох різних розмірів — виходило всього-на-всього сім знаків.
Саме тому цю дещицю знаків вживали по-різному в різних системах: маленьке кружальце дорівнювало 10 маленьким зубцям у системі, призначеній для мір дискретних об’єктів, 6 маленьким зубцям у системі, призначеній для вимірювання об’ємів, і 18 — у системі, призначеній для вимірювань поверхні. “Числові знаки”, отже, не означають дійсної величини, а лише ту, якою наділяє їх система, де вони виступають. До того ж співвідношення між знаками, розміщеними в послідовному порядку, — їхні “відносні величини”, — варіюються від одній системи до іншої. Отже, немає загальної ідеї числа, є лише способи лічби.
Протягом 500 років, починаючи з 3200 року до н.е., сфера використання текстів у Месопотамії лишається дуже вузькою. Це переважно рахунки з чисел, запозичених із різних метрологічних систем і збагачених знаками об’єктів, що підлягали цій лічбі, а також географічних назв і титулів посадових осіб. Є також мізерна кількість шкільних текстів, реєстрів знаків та слів, як числових, так і нечислових, що їх молодий учень переписувача мусив вивчати, аби опанувати своє ремесло. Засадничу роль у писарській науці відігравало осягнення основ рахівництва. Думка, що писемність може “відхилитися” від рахівництва і використовуватися для нотування мови,— така природна в нашому сприйнятті роль, — визрівала дуже повільно: на це пішло аж 500 років.
ПОДВІЙНА ЕВОЛЮЦІЯ
Десь близько 2600 року до н.е. дедалі міцніші міста-держави, що утворювали стародавній Шумер, досягли достатніх розмірів і достатнього багатства для того, щоб писемність, досі скупчена лише в небагатьох місцях, набула загального поширення по всій південній Месопотамії.
Однією з реформ, проведених у цей період консолідації, була реформа метрологічних систем. Число таких систем скоротилося від дванадцяти до ліченої кількості: одна — мір дискретних об’єктів та мір довжини, одна — площі й одна — мір об’єму. До цих трьох долучилася нова система: мір ваги. Замість створювати нові числа на означення величин цієї системи, було вирішено користуватись числами з системи, вживаної для вимірювання дискретних об’єктів, супроводжуючи ті числа назвами одиниць ваги. Така система виявилася надзвичайно практичною — і назви одиниць ваги та їхні відносні величини були запозичені метрологічною системою мір поверхні й використовувалися в ній на означення малих площ.
Ця ідея — йменувати одиниці — була однією з двох найважливіших новацій тогочасного періоду, і сфера її впливу не обмежувалася лише системою ваги. Навіть більші одиниці довжини чи об’єму тепер прибрали собі назви. Переписувач накреслив числовий знак + “бур” для мір поверхні, а також числовий знак + “ніндан” для мір довжини. Звичайно, оскільки назви одиниць писані, зразу можна побачити, який проведено різновид мір. Месопотамські переписувачі спричинились до дедалі ширшого використання цієї нової методи.
Інша важлива зміна в цей період пов’язана з написанням чисел. Коли йдеться про площі, знак (А) заступає місце давнішого (В), зовнішнє з двох концентричних кіл замінюється чотирма перехрещеними клинцюватими рисками. Це тільки один приклад типового в той період дедалі ширшого запровадження клинопису в писемній системі, включно з числовими знаками. Викривлені різьблені лінії давнішої напівпіктографічної форми письма, які було нелегко залишати на глині, щораз частіше замінялися швидшою і простішою методою, коли знаки виводили очеретинкою. Розвиток писемної системи, що невиразно простежувався ще в попередній період, у цей період бурхливо прогресував, і на кінець тисячоріччя по суті витіснив давніші круглясті числа.
МЕТКІ ПЕРЕПИСУВАЧІ
Період із 2350 до 2200 років до н.е. позначився утворенням першої в Месопотамії великої імперії аккадійців, що говорили семітською мовою. Нова централізована адміністрація Аккадійської імперії, яка в розквіті своєї могутності сягала від Перської затоки до Сирії та Лівану й відігравала вирішальну роль в метрології та писемності, запровадила дві новації.
Системи одиниць, успадковані від попереднього періоду, було раціоналізовано й упорядковано в такий спосіб, щоб вони якось співвідносились між собою. Хоча складність давніх способів лічби ніколи не усувалася цілковито, співвідношення одиниць тяжіли до стабілізації навколо постійних величин. Окрім того, числова система мір дискретних об’єктів тепер почала широко прикладатися до мір, пов’язаних із вживанням назв для різних одиниць.
Водночас давніші числа, такі як [С] та [Д] було замінено [Е] та [І7]. Тривалий наступ клинопису не припинявся. Ці зміни, продиктовані потребою якнайефективніше виконувати дедалі більше число бюрократичних завдань в Аккадської імперії, були палицею на два кінці. Певна річ, нові клинцюваті числа писати простіше і швидше, ніж давні круглясті, але швидкість обходиться дорого. Різниця між маленькою одиницею і одиницею в шістдесят разів більшою була зовсім незначною — вона визначалася трохи більшим розміром “головки” на кінці звичайної вертикальної риски. Оскільки легко можна було переплутати, приміром, числа 61 і 2, коли швидко писати (і читати), виникала гостра проблема двозначності. Розв’язання цієї проблеми, здійснене месопотамськими переписувачами десь в аккадський період чи в той, що йшов безпосередньо за ним, — полягало якраз у тому, щоб ліквідувати таку двозначність, створивши позиційну систему.
НАРОДЖЕННЯ ПОЗИЦІЙНОЇ СИСТЕМИ ЧИСЛЕННЯ
Після періоду руїни, спричиненої падінням Аккадської імперії, в Месопотамії знову закладено централізовану державу; місто держава Ур успішно заснувала нову імперію, так звану Третю династію Ур, або Ур III.
Серед більш як 100 000 текстів цього періоду один залишив нам слід технічної та концептуальної революції; що мала місце за часів Ура ІІІ та в попередню Аккадську епоху. Цей текст із рахунками, пов’язаними з довозом срібла, цілком пересічний, за винятком однієї деталі: переписувач забув стерти математичні підрахунки, зроблені під час складання тексту. Запис підрахунків показує нам, що принаймні за часів Ура III, вже мала місце позиційна система з покладеним у її основу числом 60. У перших чотирьох рядках переписувач занотував вагу чотирьох окремих партій срібла, вдавшись до традиційної шістдесяткової системи числення. В такій системі кожне місце репрезентує степінь від 60, а числа на кожному з них утворюють послідовний ряд від 1 до 59.
Для утворення письмових знаків цих 59 чисел використовуються перші два знаки тепер вже цілковито клинописної системи мір дискретних об’єктів: клин для величини 10 і риска для 1. Порожній простір, що з’являється в числі, служить за месопотамський “нуль”. В останньому рядку переписувач переводить суму чотирьох записів у традиційну систему мір ваги.
Як видно з цього прикладу, вищезгадана двозначність чисел 61 і 2 легко усувається, коли перейти на таку систему. Немає більше жодної різниці в написанні знаків, що утворюють, скажімо, числа 11 і 61. Обидва числа двічі користуються тим самим знаком. Різниця між числами передається виключно прогалиною між ними, тобто наданням значення тому, як розміщені два знаки один щодо одного. Так у месопотамській математиці народилася позиційна система. Система ця була шістдесяткова; месопотамці віддали перевагу саме їй з усіх інших, що мали до своїх послуг.
Тож до месопотамської шістдесяткової позиційної системи вела не психологічна особливість шумерців та аккадців, не містичний та релігійний ритуал і не ускладнений математичний критерій подільності. То радше два одночасні процеси, підштовхувані економічними та соціальними потребами дедалі централізованішої держави, що функціонувала впродовж тисячорічного періоду, — зростання довіри до чисел, запозичених із простої метрологічної системи й чимраз більше розширення сфери вживання клинопису та неминучий ризик двозначності в написанні чисел, — взаємодіючи, витворили різновид числової системи, якій судилося жити в Месопотамії протягом наступних 2000 років. Як ми бачили, то чимраз більше домінування однієї специфічної метрологічної системи з її специфічним вибором відносних величин, дало життя числовій системі, в основу якої покладено число 60, і то розширення сфери вживання клинопису породило позиційну систему числення.
У всьому цьому, мабуть, найважливіший несподіваний наслідок цих двох процесів. Ті самі числові знаки могли вживатися — і вживалися — для написання чисел в обчисленнях всіх метрологічних систем. Ця нова система не була прив’язана до жодного традиційного способу лічби; числа набули здатності “вільно плавати” і розрив між числом і мірою зробився цілковитий. Кінець третього тисячоріччя до н.е. став свідком народження концепції числа, абстрагованого від будь-якої окремої одиниці.
Автор: Джеймс Ріттер.