История математики: шумерская арифметика

Шумерская математика

Когда в течение последнего столетия ученые начали постигать письменную систему счета в древнем месопотамском мире двух последних тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Прежде всего, месопотамцы воспользовались уникальной системой, в основе которой было положено число 60. Во-вторых, они отличаются от других известных древних народов употреблением позиционной системы счета, как это делаем мы, для выражения чисел на письме. Были предложены самые разные объяснения этих двух странных черт. Некоторые думали, что они могли иметь какое-то отношение к шумерскому календарю; другие – что они были обязаны своему существованию удобству числа 60, такому богатому на делители; третьи – что они были порождены психологическими особенностями шумерского народа. Теперь мы, однако, знаем, что ответ лежит в развитии месопотамской письменности или, точнее, в зависимости письменности от счетоводства (ведь это факт, что первоначальным назначением письменности было счетоводство) и мы имеем дело со следствием тысячелетнего процесса.

Поскольку месопотамцы использовали для ведения счетов глиняные материалы, фактически неподвластные разрушению, мы можем прослеживать развитие письменности в Месопотамии (и в соседнем Сузи) еще в конце четвертого и в начале третьего тысячелетия. Сначала счетоводство проводили, пользуясь пустыми черепичными шарами с мелкими предметными знаками разных размеров и разной формы внутри них и отпечатками цилиндрических печатей на их поверхности. Форма и размер предметных знаков представляли объект и (или) применяемую единицу счета или меры. Отпечатки печати на внешней поверхности указывали то на владельца, то на участников заключенного соглашения, то на чиновника, осуществляющего контроль.

В течение следующих нескольких сотен лет эта система развилась дальше. Во-первых, перед тем, как прятать предметные знаки в шары, на ее поверхности стали делать их отпечатки; во-вторых, со временем отказались от самых предметных знаков, оставив только их отпечатки на поверхности теперь уже сплющенного шара или таблички; и наконец, для того, чтобы сделать отметки на поверхности, начали вместо предметных знаков пользоваться тростью.

Около 3200 года до нашей эры система письменности так развилась, что уже пользовалась целым набором знаков (примерно тридцатью числовыми и восьмисот нечисловыми) для обозначения предметов счета и географических названий и названий, связанных с официальной сферой жизни.

В Месопотамии этого периода (3200-2800 годы до н.э.) пользовались множеством способов или систем счета. Одна предназначалась для счета дискретных объектов и длины, другая – для измерения поверхностей, третья – для определения количества зерна (разбита на многочисленные подсистемы для разных сортов зерна!), третья – для мер времени. Таких метрологических систем насчитывалось, вероятно, целая дюжина.
Чтобы выразить число в любой из этих систем, применяли аддитивную технику; другими словами, числовой знак использовали столько раз, сколько было единиц, представленных этим знаком.

Но при всем обилие систем набор числовых знаков был мал. Действительно, все знаки по сути происходили от четырех разных знаков, чертежей тростью: больших и малых кружочков и больших и малых зубцов. К тому же эти знаки использовались только в определенных комбинациях: то особняком (четыре знака), то в сообщениях кружочек зубец того же размера или кружочек + кружочек двух разных размеров – получалось всего-навсего семь знаков.

Именно поэтому эту малость знаков употребляли по-разному в разных системах: маленький кружок равнялся 10 маленьким зубцам в системе, предназначенной для мер дискретных объектов, 6 маленьких зубцов в системе, предназначенной для измерения объемов, и 18 в системе, предназначенной для измерений поверхности. “Числовые знаки”, следовательно, не означают действительной величины, а только ту, которой наделяет их система, где они выступают. К тому же соотношение между знаками, размещенными в последовательном порядке, – их “относительные величины”, – варьируются от одной системы к другой. Следовательно, нет общей идеи числа, есть только способы счета.

В течение 500 лет, начиная с 3200 до н.э., сфера использования текстов в Месопотамии остается очень узкой. Это преимущественно счет из чисел, заимствованных из разных метрологических систем и обогащенных знаками объектов, подлежащих этому счету, а также географических названий и титулов должностных лиц. Есть также мизерное количество школьных текстов, реестров знаков и слов, как числовых, так и нечисловых, которые молодой ученик писца должен изучать, чтобы овладеть своим ремеслом. Основополагающую роль в писарской науке играло постижение основ счетоводства. Мнение, что письменность может “уклониться” от счетоводства и использоваться для записи языка, – такая естественная в нашем восприятии роль, – вызревало очень медленно: на это ушло аж 500 лет.

ДВОЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ

Где-то около 2600 года до н.э. все более крепчавшие города-государства, образовывающие древний Шумер, достигли достаточных размеров и достаточного богатства для того, чтобы письменность, до сих пор сосредоточенная лишь в немногих местах, получила всеобщее распространение по всей южной Месопотамии.

Одной из реформ, проведенных в этот период консолидации, была реформа метрологических систем. Число таких систем сократилось от двенадцати до считанного количества: одна – мер дискретных объектов и мер длины, одна – площади и одна – мер объема. К этим трем присоедини