История математики: шумерская арифметика
Когда в течение последнего столетия ученые начали постигать письменную систему счета в древнем месопотамском мире двух последних тысячелетий до нашей эры, они открыли в ней две отличительные черты. Прежде всего, месопотамцы воспользовались уникальной системой, в основе которой было положено число 60. Во-вторых, они отличаются от других известных древних народов употреблением позиционной системы счета, как это делаем мы, для выражения чисел на письме. Были предложены самые разные объяснения этих двух странных черт. Некоторые думали, что они могли иметь какое-то отношение к шумерскому календарю; другие – что они были обязаны своему существованию удобству числа 60, такому богатому на делители; третьи – что они были порождены психологическими особенностями шумерского народа. Теперь мы, однако, знаем, что ответ лежит в развитии месопотамской письменности или, точнее, в зависимости письменности от счетоводства (ведь это факт, что первоначальным назначением письменности было счетоводство) и мы имеем дело со следствием тысячелетнего процесса.
Поскольку месопотамцы использовали для ведения счетов глиняные материалы, фактически неподвластные разрушению, мы можем прослеживать развитие письменности в Месопотамии (и в соседнем Сузи) еще в конце четвертого и в начале третьего тысячелетия. Сначала счетоводство проводили, пользуясь пустыми черепичными шарами с мелкими предметными знаками разных размеров и разной формы внутри них и отпечатками цилиндрических печатей на их поверхности. Форма и размер предметных знаков представляли объект и (или) применяемую единицу счета или меры. Отпечатки печати на внешней поверхности указывали то на владельца, то на участников заключенного соглашения, то на чиновника, осуществляющего контроль.
В течение следующих нескольких сотен лет эта система развилась дальше. Во-первых, перед тем, как прятать предметные знаки в шары, на ее поверхности стали делать их отпечатки; во-вторых, со временем отказались от самых предметных знаков, оставив только их отпечатки на поверхности теперь уже сплющенного шара или таблички; и наконец, для того, чтобы сделать отметки на поверхности, начали вместо предметных знаков пользоваться тростью.
Около 3200 года до нашей эры система письменности так развилась, что уже пользовалась целым набором знаков (примерно тридцатью числовыми и восьмисот нечисловыми) для обозначения предметов счета и географических названий и названий, связанных с официальной сферой жизни.
В Месопотамии этого периода (3200-2800 годы до н.э.) пользовались множеством способов или систем счета. Одна предназначалась для счета дискретных объектов и длины, другая – для измерения поверхностей, третья – для определения количества зерна (разбита на многочисленные подсистемы для разных сортов зерна!), третья – для мер времени. Таких метрологических систем насчитывалось, вероятно, целая дюжина.
Чтобы выразить число в любой из этих систем, применяли аддитивную технику; другими словами, числовой знак использовали столько раз, сколько было единиц, представленных этим знаком.
Но при всем обилие систем набор числовых знаков был мал. Действительно, все знаки по сути происходили от четырех разных знаков, чертежей тростью: больших и малых кружочков и больших и малых зубцов. К тому же эти знаки использовались только в определенных комбинациях: то особняком (четыре знака), то в сообщениях кружочек зубец того же размера или кружочек + кружочек двух разных размеров – получалось всего-навсего семь знаков.
Именно поэтому эту малость знаков употребляли по-разному в разных системах: маленький кружок равнялся 10 маленьким зубцам в системе, предназначенной для мер дискретных объектов, 6 маленьких зубцов в системе, предназначенной для измерения объемов, и 18 в системе, предназначенной для измерений поверхности. “Числовые знаки”, следовательно, не означают действительной величины, а только ту, которой наделяет их система, где они выступают. К тому же соотношение между знаками, размещенными в последовательном порядке, – их “относительные величины”, – варьируются от одной системы к другой. Следовательно, нет общей идеи числа, есть только способы счета.
В течение 500 лет, начиная с 3200 до н.э., сфера использования текстов в Месопотамии остается очень узкой. Это преимущественно счет из чисел, заимствованных из разных метрологических систем и обогащенных знаками объектов, подлежащих этому счету, а также географических названий и титулов должностных лиц. Есть также мизерное количество школьных текстов, реестров знаков и слов, как числовых, так и нечисловых, которые молодой ученик писца должен изучать, чтобы овладеть своим ремеслом. Основополагающую роль в писарской науке играло постижение основ счетоводства. Мнение, что письменность может “уклониться” от счетоводства и использоваться для записи языка, – такая естественная в нашем восприятии роль, – вызревало очень медленно: на это ушло аж 500 лет.
ДВОЙНАЯ ЭВОЛЮЦИЯ
Где-то около 2600 года до н.э. все более крепчавшие города-государства, образовывающие древний Шумер, достигли достаточных размеров и достаточного богатства для того, чтобы письменность, до сих пор сосредоточенная лишь в немногих местах, получила всеобщее распространение по всей южной Месопотамии.
Одной из реформ, проведенных в этот период консолидации, была реформа метрологических систем. Число таких систем сократилось от двенадцати до считанного количества: одна – мер дискретных объектов и мер длины, одна – площади и одна – мер объема. К этим трем присоединилась новая система: мер веса. Вместо того, чтобы создавать новые числа для определения величин этой системы, было решено пользоваться числами из системы, применяемой для измерения дискретных объектов, сопровождая те числа названиями единиц веса. Такая система оказалась чрезвычайно практичной – и названия единиц веса и их относительные величины были заимствованы метрологической системой мер поверхности и использовались в ней для определения малых площадей.
Эта идея – называть единицы – была одной из двух важнейших новаций тогдашнего периода, и сфера ее влияния не ограничивалась только системой веса. Даже крупные единицы длины или объема теперь получили себе названия. Писец нарисовал числовой знак + “бурь” для мер поверхности, а также числовой знак + “ниндан” для мер длины. Конечно, поскольку названия единиц писаны, сразу можно увидеть, приведенную разновидность мер. Месопотамские переписчики привели к все более широкому использованию эту новую систему.
Другое важное изменение в этот период связано с написанием цифр. Когда речь идет о площади, знак (А) заступает место прежнего (В), внешнее из двух концентрических кругов заменяется четырьмя перекрещенными клинообразном палочками. Это только один пример типичного в тот период все более широкого внедрения клинописи в письменной системе, включая числовые знаки. Искривленные резные линии древней формы письма, которые было нелегко оставлять на глине, все чаще заменялись быстрыми и простыми знаками, написанными тростью. Развитие письменной системы, смутно наблюдавшееся еще в предыдущий период, в этот период бурно прогрессировало, и на конец тысячелетия, по сути, вытеснило старые округлые числа.
МЕТКИ ПЕРЕПИСЧИКОВ
Период с 2350 до 2200 г. до н.э. сказался образованием первой в Месопотамии великой империи аккадцев, говоривших семитским языком. Новая централизованная администрация Аккадской империи, в расцвете своего могущества простиралась от Персидского залива до Сирии и Ливана и играла решающую роль в метрологии и письменности, она же ввела две новации.
Системы единиц, унаследованные от предыдущего периода, были рационализированы и отсортированы таким образом, чтобы они как-то соотносились между собой. Хотя сложность древних способов счета никогда не устранялась полностью, соотношение единиц тяготело к стабилизации вокруг постоянных величин. Кроме того, числовая система мер дискретных объектов теперь стала широко прикладываться к мерам, связанным с употреблением названий для различных единиц.
В то же время древние числа, такие как [С] и [Д] были заменены [Е] и [И7]. Долгое наступление клинописи не прекращалось. Эти изменения, продиктованные необходимостью наиболее эффективно выполнять все большее число бюрократических задач в аккадской империи, было палкой о двух концах. Разумеется, новые клинообразные числа писать было проще и быстрее, чем старые округлые, но скорость обходится дорого. Разница между маленькой единицей и единицей в шестьдесят раз больше была совсем незначительной – она определялась немного большим размером “головки” на конце обычной вертикальной черты. Поскольку легко можно было перепутать, например, числа 61 и 2, когда быстро пишешь (и читаешь), возникала острая проблема двусмысленности. Решение этой проблемы, совершенное месопотамскими состояло как раз в том, чтобы ликвидировать такую двусмысленность, создав позиционную систему.
РОЖДЕНИЯ ПОЗИЦИОННОЙ СИСТЕМЫ СЧЕТА
После периода руины, вызванной падением аккадской империи, в Месопотамии снова было заложено централизованное государство; город государство Ур успешно основал новую империю, так называемую Третью династию Ур, или Ур III.
Среди более 100 000 текстов этого периода один оставил нам след технической и концептуальной революции; имевшей место во времена Ура III, и в предыдущую аккадскую эпоху. Этот текст со счетами, связанными с доставкой серебра, вполне обычный, за исключением одной детали: переписчик забыл стереть математические подсчеты, сделанные при составлении текста. Запись подсчетов показывает нам, что, по крайней мере, во времена Ура III, уже имела место позиционная система с положенным в ее основу числом 60. В первых четырех строках переписчик записал вес четырех отдельных партий серебра, прибегнув к традиционной шестидесятеричной системе счета. В такой системе каждое место представляет степень от 60, а числа на каждом из них образуют последовательный ряд от 1 до 59.
Для образования письменных знаков этих 59 цифр используются первые два знака теперь уже полностью клинописной системы мер дискретных объектов: клин для величины 10 и палочка для 1. Пустое пространство, появляющееся в числе, служит как месопотамский “ноль”. В последней строке писец переводит сумму четырех записей в традиционную систему мер веса.
Как видно из этого примера, вышеупомянутая двусмысленность чисел 61 и 2 легко устраняется, когда перейти на такую систему. Нет больше никакой разницы в написании знаков, образующих, скажем, числа 11 и 61. Оба числа дважды пользуются тем же знаком. Разница между числами передается исключительно пробелом между ними, то есть предоставлением значения тому, как размещены два знака друг относительно друга. Так в месопотамской математике родилась позиционная система. Система эта была шестидесятеричная; месопотамцы предпочли именно ей из всех, что имели к своим услугам.
Поэтому к месопотамской шестидесятеричной позиционной системе вела не психологическая особенность шумерцев с аккадцами, не мистический и религиозный ритуал и не осложненный математический критерий делимости. Это скорее два одновременных процесса, подталкиваемые экономическими и социальными потребностями все более централизованного государства, функционировавшего в течение тысячелетнего периода – рост доверия к числам, заимствованным из простой метрологической системы и все большее расширение сферы применения клинописи и неизбежный риск двусмысленности в написании цифр, – взаимодействуя, создали разновидность числовой системы, которой суждено было жить в Месопотамии в течение следующих 2000 лет. Как мы видели, то все большее доминирование одной специфической метрологической системы с ее специфическим выбором относительных величин, дало жизнь числовой системе, в основе которой лежит число 60, и это расширение сферы применения клинописи породило позиционную систему счета.
В этом, пожалуй, самое важное неожиданное последствие этих двух процессов. Те же числовые знаки могли использоваться – и использовались – для написания цифр в вычислениях всех метрологических систем. Эта новая система не была привязана к одному традиционному способу счета; числа приобрели способность “свободно плавать” и разрыв между числом и мерой стал полнейшим. Конец третьего тысячелетия до н.э. стал свидетелем рождения концепции числа, отвлеченного от любой отдельной единицы.
Автор: Джеймс Риттер.