Математика в средневековой Европе

В начале последней пьесе Мольера, “Мнимый больной” (1673), ипохондрик Арган использует счеты-абаку, чтобы подсчитать стоимость лекарств, которые ему назначил его аптекарь. Напоследок он определяет общую сумму расходов: «три и шестьдесят фунтов, четыре Су, шесть денье». Этот метод вычислений, основанный в древние времена, весьма распространился во времена Мольера. Хотя письменное исчисление было известно на латинском Западе уже несколько столетий, и бумага была в широком потреблении, абакой с косточками еще часто пользовались в XVII и даже XVIII веках. Ею пользовался Лейбниц, а известный корреспондент Вольтера Фридрих II Прусский использовал счеты как образ для катренов: Куртизанки – косточки на счетах. Чья стоимость зависит от места: если они в фаворе – цена их миллионы, В опале – нули.

Счеты, еще используемые на Дальнем Востоке и в разных частях Восточной Европы (китайский ксуанбан, японский соробан и российские счеты) – это линейные абаки, в основу которых положен тот же принцип, который был положен в счетах древних Греции и Рима.

Как же счетные приспособления такого типа были вытеснены на Западе цифрами?

Косточки, пальцы и индийские цифры

В течение раннего средневековья (от V века, когда пала Римская империя, до IX) научные знания западных авторов ограничивались умозрительной арифметикой, основанной в основном на «Введении к арифметике» неопифагорейцев Никомаха Террасы и на практическом методе вычислений на косточках абаки, а не на писаных цифрах. Эти косточки имели дальнее родство с галькой, которую использовали греки пифагоровых времен для обозначения чисел.

Долгое время единственным соперником системы счетов были счеты на пальцах, описанные в VII веке уважаемым Бедою в трактате “О времена” (De Temporibus). “Когда говоришь один, согни мизинец левой руки и приставь его к середине ладони. Когда говоришь два, так же сделай со вторым пальцем от мизинца. Когда говоришь пять, то исправьте второй палец от мизинца. Когда говоришь десять раз по сто тысяч, сложи руки вместе и переплети пальцы “.

Этот метод использования рук для счета практиковался очень долгое время. Описание его можно найти еще в 1494 году в одной из важнейших работ по математике тогдашней эпохи Summa de arithmetica “арифметическая сумма” Луки Пачиоли (Луки ди Борго), опубликованной в Венеции того же года.

Жербер де Орийяк ставший Папой Сильвестром II в 1003 году был, кажется, одним из первых, кто стал пропагандировать индо-арабские числа в Европе. Он делал это, позаимствовав от испанских арабов использование усовершенствованного вида абаки с 27 колонками, на которых могли двигаться косточки, конечно обозначенные первыми девятью цифрами.

От Багдада до Толедо

В начале IX века Аббасид Калиф аль-Мамун основал в Багдаде академию, называемую “Домом мудрости”, которая способствовала культурным взаимосвязям с Индией, особенно переводам рукописей, собранных посланцами халифа. Математик Аль-Хорезми, в дополнение к известной работе “Китаб альДжабр вал-мукабала” основного текста арабской алгебры, написал еще и “Книгу о сложении и вычитании” и “Книгу об индийской арифметике”. Эта последняя работа способствовала развитию двух традиций. Одна исключительно арабская и к тому же высокого качества, достигла вершины своего развития в IX-X веках. Вторая, не менее важная, развилась позже. В Европе XII-XIII веков, особенно в Толедо, переводчики и составители арабских книг на латыни играли ключевую роль в развитии математики на Западе, которую можно сравнить с ролью багдадских ученых и переводчиков в исламском мире.

Под влиянием новых математических трактатов, которые они писали около середины XII века, счет то с помощью абаки, то с косточками, или на песке (где легко можно было написать и стереть цифры), и счет на пальцах уступили место системе, опирающейся на индийские и арабские методы. Это была система счета “алгоритм” (алгоризм), название, производное от имени Аль-Хорезми.

Имея в основе 9 цифр (по-латыни figurae) и ноль (иногда назывался cifra в латинских текстах, от арабского sifr “пустота”, но чаще circulus, “маленький круг”), алгоритм сделал проведение традиционных операций с целыми числами (сложение, вычитание, удвоение, умножение, деление и извлечение корня) быстрее и надежнее. Вопреки распространенному в эпоху средневековья и Ренессанса мнению, числа индийского происхождения, принесенные на Запад арабами, ничем не обязаны позднеримскому математику VI столетия Боэцию.

В конце XIII века большинство этих трактатов поблекли, когда появилась знаменитая “Книга абаки” пизанского математика Леонардо Фибоначчи (Леонардо из Пизы). Книга эта обозначила окончательный разрыв с традицией абаки. Еще больше было влияние двух книг, имевших большой успех – Александра де Вильдье “Песня об алгоритме” и Сакробоско “Общий алгоритм”.

Долгое время индо-арабские цифры писались в западных рукописях многими различными способами. С самого начала перед переводчиками появились две серии цифр, одна из восточной части арабского мира, вторая из запада арабского мира. Эта последняя, кажется, развивалась вследствие действия двух факторов – открытия основ индийской арифметики и опыта использования абаки. Разницу между ними можно увидеть только в нескольких латинских рукописях. В основном восточные копировальщики так искажали форму цифр, те все больше удалялись от оригиналов. Вынужденные писать слева направо (арабские же формы не подвергались такому “надругательству”), они оказывали цифрам только символические значения и быстро исказили их форму. Эта палеографическая эволюция продолжалась до эпохи Ренессанса; возможно, на ней сказалось и влияние вестготов. Особенно разительно это видно в случаях чисел 2 и 3.

Триумф алгоритма

В X веке, если не раньше, легкость, с которой можно было проводить вычисления с индийскими числами, позволила арабам усовершенствовать свою технику. Некоторые методы распространились и за учебниками арифметики. Может быть, что в одном из своих путешествий Леонардо из Пизы познакомился с арабским методом расчетов, называемым “дома”, и использовал его, чтобы создать свой собственный “метод шахматной доски” – серию квадратов с вписанными в них всеми числами и проведенными диагоналями. Он широко распространен.

На рассвете Ренессанса во Фрайбурге была создана деревянная гравюра, которой суждено было стать знаменитой. На ней изображена “философская жемчужина” (Margarita Philosophica). Слева меняла в лице Боэция оперирует индо-арабскими цифрами и насмешливо смотрит на одного из своих коллег, который с застенчивым видом работает с абакой и косточками по пифагорейской традиции. А позади них Госпожа Арифметика дает знать, на чьей стороне ее привязанность – ее платье все усыпано цифрами.

Не найти лучшую иллюстрацию триумфа цифр на средневековом Западе, хотя потом Запад лишь изредка признавал, что должен быть благодарным индийским и арабским цивилизациям, которые оставили ему в наследство, вместе с другими, и этот замечательный инструмент – современные цифры.

Автор: Андре Адлар.