Античные амфоры и античная математика
Величайший греческий скульптор IV века до н. э. Лисипп, имя которого еще в древности было овеяно славой гения и окружено романтическими легендами, получил однажды необычное для ваятеля задание. Едва ли оно было ему приятно, так как исходило от самого Кассандра — одного из могущественных и грозных преемников Александра Македонского, Кассандра, который в борьбе за упрочение своей власти не остановился даже перед убийством матери, жены и сына своего былого повелителя. Лисипп же был личным другом Александра. В чем же заключалась необычность задания? Кассандр приказал знаменитому скульптору изготовить прототип простой глиняной амфоры для вывоза на мировые рынки изысканного и пользовавшегося широкой славой мендейского вина, выделывавшегося по соседству с новым городом, который царь основал сам и назвал Кассандрией.
Амфоры — большие глиняные двуручные сосуды с острым дном и более или менее высоким горлом, были в античном мире основной тарой для транспортировки жидких и сыпучих товаров — в первую очередь виноградного вина и оливкового масла. Их форма была весьма удобной для перевозки на кораблях, в трюмы которых амфоры загружались многими сотнями и тысячами. Весьма удобны были они и для переноски.
Древний покупатель по одному виду амфоры мог безошибочно определить, из какого города она происходит, а следовательно, и судить о качестве ее содержимого (как, впрочем, и о количестве, но об этом речь впереди). В каждом городе амфорам, при сохранении их принципиально одинаковой рациональной формы, стремились придать вид, соответствующий эстетическим вкусам того или иного времени. Кассандр потому и обратился к знаменитейшему скульптору, чтобы тот создал сосуд красивый и оригинальный. Кроме того, новая амфора должна была иметь совершенно определенную стандартную емкость.
Многие города, в которых амфоры изготовлялись в огромных количествах, клеймили свою продукцию особыми штемпелями, содержавшими, наряду с именами городских магистратов и хозяев гончарных мастерских, нередко и название города, где была изготовлена амфора (например, «фасосская», «книдская», «паросская» и т.д.), или, вместо этого, его «герб». Так, на родосских клеймах нет имени города, но обычно изображены роза или цветок граната — «герб» Родоса; на клеймах города Синопы нередко встречается изображение орла, терзающего дельфина, и т.д. Эти клейма, с одной стороны, были «торговыми марками», рекламировавшими товар, удостоверявшими его качество, чем-то вроде «Сделано в…», а с другой — служили гарантией «полновесности» тары, соответствия ее принятому стандарту. Однако амфоры клеймили далеко не повсеместно, да и там и тогда, где и когда их клеймение было обязательным и массовым,— далеко не все, а лишь строго определенную их часть (каждую пятую, десятую…) Тем не менее, уже сейчас археологическими раскопками открыто около 200 тысяч амфорных клейм.
Обнаружены остатки многих сотен тысяч, если не миллионов, древнегреческих амфор, рассеянных по всей территории античного мира — от Геракловых столбов (Гибралтара) на западе до Индии на востоке, от районов Киева, Курска и Воронежа на севере до долины Нила на юге. Эти остатки служат в настоящее время наиболее массовым и надежным материалом для конкретного исследования античной торговли.
Но здесь ученые до сих пор сталкивались с одной, казавшейся непреодолимой, трудностью. Дело в том, что каждый город изготовлял амфоры разного объема, от 4—5 до 40—45 литров, и сопоставление числа амфор, определяемого по числу клейм или ножек сосудов, давало немного. Реальное соотношение объема торговли ускользало из рук исследователя.
Правда, было известно, что амфоры — сосуды стандартных емкостей и что, помимо сосудов полного объема (стандарта), существовали сосуды «дробные». Но это само по себе не могло привести к решению, каковы именно были конкретные стандарты амфор различных центров. Слишком мало до нас дошло целых амфор (как правило, они сохраняются неповрежденными лишь в могилах — да и то далеко не всегда,— куда они ставились с вином в качестве напутственного приношения умершему). Теперь положение изменилось. Количество целых амфор в музейных собраниях во много раз увеличилось. Причем следует особо подчеркнуть, что этот огромный рост материала наблюдается в первую очередь именно в нашей стране. Одной из причин этого является то обстоятельство, что именно на юге Украины, в причерноморских степях, у скифов обычай класть в могилы амфоры с вином был особенно широко распространен. Сейчас мы обладаем уже многими сотнями целых амфор (отчасти раздавленные землей, они восстановлены из многих десятков обломков, тщательно собранных и склеенных).
К тому же выработанная новая методика определения стандартных объемов амфор позволяет выяснять их порою по незначительным остаткам. Иногда достаточно иметь ножку амфоры или часть ее горла или туловища, чтобы почти безошибочно определить ее древний стандарт. А это, в свою очередь, открывает принципиально новые возможности подхода к изучению античной торговли. До сих пор было принято считать, что если в каком-нибудь месте найдено 30 клейм амфор города Гераклеи Понтийской и 20 клейм амфор Синопы середины IV века до новой эры (оба названных города расположены на южном берегу Черного моря — это современные турецкие города Эрегли и Синоп), то можно уверенно утверждать, что гераклейский импорт здесь в полтора раза превосходил синопский. На самом же деле оказывается, что импорт Синопы превосходил гераклейский, так как синопская стандартная амфора имела в это время объем примерно вдвое больший, чем гераклейская.
Мы не будем углубляться в методику выяснения древних стандартов амфор — не о ней речь. Для вычисления стандартов древних амфор удалось использовать и античные формулы объема сложных тел вращения. Применимость этих формул к вычислению стандартов амфор бесспорно доказывает, что размеры и объемы тары не были случайными величинами, зависевшими в каждом отдельном случае от интуиции или желания гончара, а заранее заданными, декретированными государственной властью. Вместе с тем анализ древних стереометрических формул приводит к интересным и неожиданным выводам по истории античной математики.
Герон Александрийский прославился изобретением ряда машин, таких, например, как прибор для измерения протяженности дорог, основанный на том же принципе, что современные таксометры, или автомат для продажи «священной» воды. В его сочинении «Метрика» сохранилось несколько формул для вычисления объемов сосудов, имевших форму сложных тел вращения. Эти формулы были предназначены для вычисления объема пифосов — огромных глиняных «бочек», вмещавших многие сотни, а часто и тысячи литров. Кстати, именно таким пифосом была «бочка», в которой, по преданию, жил знаменитый философ Диоген.
Герон приводит три различных формулы для объемов пифосов, в зависимости от их формы: один назван «пифоидом», то есть сосудом пифосовидным, другой — «сфероидом», то есть сферовидным, а третий — каким-то абстрактным определением «другой пифос», и что Герон имел под этим понятием в виду, остается непонятным. До сих пор считалось, что конкретное отнесение Героном своих формул к пифосам исключает возможность их применения к другим категориям сосудов, в частности — к амфорам. Однако проведенные недавно эксперименты показали полную применимость по крайней мере одной из героновских формул, а именно формулы для объема «пифоида», к вычислению объемов целой группы амфор разного времени и различных мест производства, объединяемых принципиальным сходством формы своих туловищ.
Как обычно в сочинениях древних математиков, формула Герона приведена в виде числового примера. Если отвлечься от конкретных чисел, которые для нас не имеют значения, то формула имеет следующий вид: даны максимальный и минимальный диаметры сосуда (за минимальный, как показали расчеты, принимается диаметр устья горла) и его высота (глубина); далее сказано, что для вычисления объема следует сложить оба диаметра и разделить пополам, а результат «помножить на себя», то есть возвести в квадрат; полученное число нужно помножить на одиннадцать и разделить на четырнадцать, а результат помножить на высоту.
Как показывает простейшее вычисление, число 11/14 действительно равно 1/4 Пи (11:14 = 0,78571…; 11/14-4 = 3,14285). В науке признано, что достаточно точное значение Пи было вычислено великим Архимедом, жившим, как известно, в III веке до новой эры. Архимед сообщает, что «периметр всякого круга больше его диаметра троекратно и, сверх того, менее, чем на седьмую часть диаметра и более, чем на десять семьдесятипервых», то есть значение Пи лежит между 3(0/71 = 3,14081… и 3!/7 =3,14285… (последнее число и сейчас широко применяется для расчетов, не требующих особой точности).
Как видим, полученное нами значение Пи в формуле Герона в точности соответствует приводимому Архимедом. И в этом нет ничего удивительного, ибо Герон жил после Архимеда. Удивительно или, вернее, неожиданно другое: как показывают многочисленные экспериментальные данные, «формула Герона» для «пифоида» полностью применима к амфорам IV, V и даже VI веков до новой эры.
Итак, формулы весьма точного вычисления объемов сложных тел вращения были широко известны и применялись на практике задолго до Герона и Архимеда. Кто был автором этих формул, мы, скорее всего, никогда не узнаем. Однако жил этот древний математик, во всяком случае, еще в VI веке до новой эры, то есть, по крайней мере, за пять-шесть столетий до Герона и за три века до Архимеда. Мало того, получается, что весьма точное значение, полностью соответствующее архимедовскому, было вычислено не только задолго до Герона, но и задолго до Архимеда, заслугой которого оно считалось до сих пор. Можно предполагать, что и Архимед, подобно Герону, изложил в своем труде в данном случае результат не собственного открытия, а вычислений, являющихся заслугой его предшественников, которые, быть может, навсегда останутся анонимными.
Автор: И. Брашинский.